Question

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动。 （1）经过几秒首次可使EF⊥AC？（2）若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使 ？若存在，请说明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）设经过x秒首次可使EF⊥AC，AC与EF相交于点O， 则AE=2x，CF=2x。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF。 ∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AO=OC，OE=OF。 ∵AB=12cm，AD=16cm， ∴根据勾股定理得AC=20cm。∴OC=10cm。 在Rt△OFC中， ，∴ 。 过点E作EF⊥BC交BC于点H， 在Rt△EFN中, ，∴ 。 解得 。 ∴经过 秒首次可使EF⊥AC。 （2）过点E作EP⊥AD交AC于点P，则P就源旁是所求的点。证明如下： 由作法，∠AEP=90 0 ， 又EF⊥AC，即∠AOE=90 0 。∴△AEP∽△AOE。 ∴ ，即 。 ∴ 。

（1）设经过x秒首次可使EF⊥AC，AC与EF相交于点O，过乱塌点E作EF⊥BC交BC于点H，由AAS证明△AOE≌△COF，得到AO=OC，OE=OF，从而求得OC=10cm，在Rt△OFC中，由勾股定理得 。因此，在Rt△EFN中, 由勾股定雹陪橡理得 ，即 ，解出即可。 （2）证明△AEP∽△AOE即可得出结论。