Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于点G，GH⊥BC于H. 求证：BH=CH。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于点G，GH⊥BC于H. 求证：BH=CH。

Answer 1

证明：方法一：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB              ∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， ∴∠ABC+∠BCE=90º，∠ACB+∠CBD=90º                ∴∠BCE=∠CBD           ∴BG=CG           ∵GH⊥BC于H ∴BH=CH.          方法二：∵CE⊥AB于E，BD⊥AC于D， ∴∠1＝90º＝∠2       在△AEC和△ADB中 ∴△AEC≌△ADB (AAS） ∴∠3=∠4            ∵AB=AC   ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ABC－∠3=∠ACB－∠4 即∠5=∠6         ∴BG=CG     ∵GH⊥BC于H    ∴BH="CH."

方法一：先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得到∠BCE=∠CBD，从而BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH. 方法二：先由AAS证得△AEC≌△ADB，得到∠3=∠4，再由AB=AC据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，从而∠5=∠6，所以BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH.