Question

被一个初中的数学证明题困扰了半天！

如题

Answer 1

假设非正三角形△A'B'C'满足题意, 则此时∠A',∠B',∠C'三个角中必有一个大于60一个小于60.
不妨设∠A'>60, ∠B'<60.
设△DEF边长为a,B'D=C'E=A'F=b.
现在构造一个满足△DEF边长为a,BD=CE=AF=b,的正三角形△ABC, 显然△ABC符合题目要求, 此时有∠ADF+∠BDE=180-∠FDE=120,
由正弦定理, 有a/sin∠ADF=b/sin∠A, ∠A=60
回到△A'B'C', 再次用正弦定理, 有a/sin∠A'DF=b/sin∠A', 对比以上两式,因为∠A'>∠A,
所以sin∠A'>sin∠A(既然题目中给"如图"了,在这儿就先默认A,B,C和∠BED,∠ADF,∠CFE都是锐角,
否则的话还得讨论下钝角的情况, 那种显然也不成立,不过我就不证了)
从而得出sin∠ADF<sin∠A'DF s,∠ADF<∠A'DF
在△BDE中, a/sin∠BDE=b/sin∠B,
同样, a/sin∠B'DE=b/sin∠B', 因为B'<60=B, sin∠B'<sin∠B, 与上面类似, 可得∠B'ED<∠BED
这样一来, ∠B'DE>∠BDE. (因为△B'DE和△BDE的内角和都是180)
又因为∠B'DE+∠A'DF=180- ∠EDF=120
∠BDE+∠ADF=180-∠FDE=120
但是∠B'DE>∠BDE,∠A'DF>∠ADF 矛盾.
故△ABC是正三角形.

摘自百度知道
@我是石崇的BOSS

追问

正弦定理的话确实可以，但这是初中水平的题目，以初中的方法无非相似全等反证法。

追答

假设∠A∠B∠C中∠A最大，
则BC大于其它两边，
所以BE>CF和AD，
所以∠BDE在对应的3个角中最大，根据上述原理可得所以∠B在对应的三个角中最小
因为∠A在对应的三个角中最大，
所以∠ADF在对应的三个角中最大（相等边的底角）
∠ADF+60度=∠BED+∠B
因为∠ADF>∠BED，所以∠B>60度
三角形中，最小的角大于60度，是不可能的。
所以三个角都等于60度

Answer 2

证明：∵△DEF为正三角形
∴DF=BE,∠A=∠B
∵AF=BD=CE
根据三角形相等定律，可得
△ADF≌△BDE
∴AD=BE
∴AD+BD=BE+EC
∴AB=BC
相同的定律可以证明
AB=AC
因此AB=BC=CA
可以证明△ABC为正三角形

追问

DF=DE在三角形DEF中，等边对等角是在同一三角形内。

追答

题不是说DFE是正三角形吗

Answer 3

只要证明三角形ADF和三角形BED和三角形CFE全等就可以了，利用角边角就可以证明

追问

现在问题是角如何证明相等！