Question

任意x∈Rf(x)满足f(x+1)=/{f(x)-[f(x)]2}+1/2,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}前15项的和为-31/16求f(1000）

Answer 1

f(x+1)=√[f(x)-f²(x)]+1/2
∴[f(x+1)-1/2]²=f(x)-f²(x)
∴f²(x+1)-f(x+1)+1/4=f(x)-f²(x)
∴a(n+1） +1/4 =-an 即an +a(n+1) =-1/4
a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=a11+a12=a13+a14=-1/4
S15 =a15+7*(-1/4)=-31/16 .则a15=-3/16可
求得-a14=1/4+a15 =1/16
∴a14=-1/16,a15=-3/16,a16=-1/16,a17=-3/16....
∴f²(1000)-f(1000)=a1000=-1/16
∴16f²(1000)-16f(1000)+1=0
△=16²-4×16=192
∴f(1000)=(16±8√3)/32=(2±√3)/4
∵f(x+1)=√[f(x)-f²(x)]+1/2≥1/2
∴f(1000)=(2+√3)/4

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