Question

一随机变量的概率分布题目

题目：设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机放入到四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号吗。
求X的分布律。
我的思路：（先从X=4开始）
P(x=4)=(1/4)^3=1/64
p(x=3) 思路：首先从三个球中随机选取一个球放到3号盒子中，然后另外两个球就在3、4号盒子里随机分配，算出来结果是(3*2*2)/64=12/64
p(x=2) 思路：随机放一球到2号，然后其余两个随机在2、3、4中分配，结果是（3*3*3）/64=27/64
p(x=1) 思路：放一球到1号，其余两个四个随机，结果（3*4*4）/64=36/64

而答案分别是 1/64, 7/64, 19/64, 37/64
我想问下，以上思路哪里错了。

Answer 1

P(x=4)=(1/4)^3=1/64没错

p(x=3)=(2/4)^3-(1/4)^3=7/64

思路：盒子的最小号码为3，意味着球只能在3号和4号盒子里面选择，这样的概率是(2/4)^3，
但其中包含了球 全部放在4号盒子里面的情形，应该排除，所以p(x=3)=(2/4)^3-(1/4)^3

你的错误：比如你先把1号球放在3号盒子里，然后把2、3号球分别放在3、4号盒子中，比如2号球分别放在3号盒子中，3号球分别放在4号盒子中；和下面这种情形的结果是一样的：先把2号球放在3号盒子里，然后把1、3号球分别放在3、4号盒子中，比如1号球分别放在3号盒子中，3号球分别放在4号盒子中。
所以你的结果里面出现了大量的重复计数，导致你的结果比正确答案大。

同理：p(x=2)=(3/4)^3-(2/4)^3
p(x=1)=1-(3/4)^3

Answer 2

以下方法做题比较简单。

1. 放球的循序 和 球放在哪个盒子里的循序是没有关系的，所以只有以下排列方式

1. 3 0 0 0 x 4 (种放放，单个概率是(1/4)^3=1/64 )

2. 2 1 0 0 x 12 (种放法，单个概率是3/64 )

3. 1 1 1 0 x 4 (种放法，单个概率是6/64 )

   
   

2. 所以 P(X=4)=1/64 恰好是 在a的情况下， 3出现在 4 的位置

3. 在a的情况下 有1次, 在b的情况下有 2次， 在c的情况下不行， 所以 P(X=3)=7/64

4. 在a的情况下 有1次, 在b的情况下有 4次， 在c的情况下 有1次， 所以 P(X=2) =19/64

5. 在a的情况下 有1次, 在b的情况下有 6次， 在c的情况下 有3次， 所以 P(X=1) =37/64

Answer 3

p(x=4)=(1/4)^3=1/64
p(x=3)=(2/4)^3-(1/4)^3=8/64-1/64=7/64
p(x=2)=(3/4)^3-(2/4)^3=27/64-8/64=19/64
p(x=1)=1-(3/4)^3=1-27/64=37/64