Question

高中文科数学向量问题！！！！求助！！！

设向量a是已知的平面向量且向量a不等于0，关于向量a的分解，给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使向量a=λ向量b+μ向量c
想知道这个命题为什么是错的？
忘记一点了
上述命题中的向量b a c在同一平面内且两两不共线

Answer 1

错的，实际上条件是反着给的，如果是给出单位向量b和c，来确定λ和u
就对了，但也不能限定正数；但先给出λ和u，却不一定可以找到单位向量
比如：a=(3,1)，λ=10，u=20，如果存在单位向量b和c
则：|λb+uc|^2=λ^2|b|^2+u^2|c|^2+2λub·c=100+400+400cos<b,c>∈[100,900]
即：|λb+uc|∈[10,30]，即：|λb+uc|的最小值是10，都大于|a|

祝你好运！~~

追问

谢谢你！呃 我没有从模的角度想。我单纯从三角形法则和四边形法则考虑的，这样的话经过平移向量都是成立的啊？那从我这个角度看的话，有没有反例呢？

Answer 2

b和c共线时，结论不正确。

追问

不好意思 掉了一点了 三个向量都在一个平面且两两不共线

追答

λ，μ其中之一为0时，结论不正确

追问

μ已经限定是正数了 他只是说总存在λ可以满足 那我不让它为0不就行了？

Answer 3

你这一道题上说“总存在”，意即不分哪种情况都是这样，但实际上一些特殊情况是不成立的。所以本命题不成立。

追问

谢谢你！请问可以举出反例么？