Question

已知f(x)的一个原函数是cosx/x,求∫xf'(x)dx

Answer 1

(cosx)'=f(x)

f(x)=-sinx

f'(x)=-cosx

∫xf'(x)dx=-∫xcosxdx

=-∫xd(sinx)

=-xsinx+∫sinxdx

=-xsinx-cosx+C

反余弦函数（反三角函数之一）为余弦函数y=cosx（x∈[0,π]）的反函数，记作y=arccosx或cosy=x(x∈[-1,1]).。由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知余弦函数的图像和反余弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

扩展资料：

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。

习惯上只有一一对应的函数才有反函数。而若函数是定义在其定义域D上的单调增加或单调减少函数，则其反函数在其定义域W上单调增加或减少。原函数与反函数之间关于y=x对称。

参考资料来源：百度百科——原函数

Answer 2

解：
f(x)=(cosx/x)'
=[(cosx)'·x-cosx·x']/x²
=(-xsinx-cosx)/x²

∫xf'(x)dx=∫xd[f(x)]
=x·f(x)-∫f(x)dx
=x·f(x)-∫[(-xsinx+cosx)/x²]dx
=x·[(-xsinx-cosx)/x²]- cosx/x +C
=-(xsinx+2cosx)/x +C

Answer 3

∫xf'(x)dx
=∫xd[f(x)]
=xf(x)-∫f(x)dx
=x·(cosx/x)'-cosx/x+C
=(-xsinx-2cosx)/x+C