Question

刘老师咨询你一个线性代数的问题

由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 a
0 a 3
由已知, A 的特征值为 1,2,5, 且a>0
所以有 |A-E|=0
而 |A-E| = 2^2 - a^2
所以 a = 2.

A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3

A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.

A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.

A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 Q = (b1,b2,b3), 则 Q 是正交矩阵, 且Q^-1AQ = diag(1,2,5).
故 X=QY 是正交变换, 满足 f = y1^2+2y2^2+5y3^2.

Answer 2

二次型f对应矩阵为A=
2 0 0
0 3 a
0 a 3
由f标准型知A和对角阵diag(1,2,5)相似，所以detA=1*2*5=10
2(9-a^2)=10
a=2或-2（舍去）
剩下的自己做了

Answer 3

f(x1,x2,x3)的矩阵的特征值为标准形的系数:1,2,5. 故f的矩阵A的特征多项式
|xE-A|=(x-2)(x-3+a)(x-3-a),
从而3-a=1, a+3=5, 即是a=2.

望采纳!