Question

在△ABC中,角ABC的对边分别为abc,且ABC成等差数列若b=2根号3,c=2,求△ABC的面积

在△ABC中,角A B C的对边分别为a b c,且A B C成等差数列

若b=2根号3,c=2,求△ABC的面积
若sinA sinB sinC成等比数列，试判断△ABC的形状

Answer 1

A B C成等差数列，A+C=2B,  A+C+B=3B,  180度=3B，所以B=60度。

由正弦定理，b*sinC=c*sinB.    ∴C＝30°.

于是，三角形ABC是直角三角形。面积就是  （1/2）*AB×AC＝2√3，

若sinA sinB sinC成等比数列,∵sinB=√3/2,∴sin²B＝sinA×sinC,∴sinA×sinC＝（3/4），

∵cos(A+C)－cos(A﹣C)＝－2sinAsinC＝－(3/2),

∴－cosB－cos(A﹣C)＝－(3/2),∴cos(A﹣C)＝(3/2)－（1/2）＝1,

∴A﹣C＝0,∴A=C, ∴A=B=C=60°,于是得到【正三角形】。

假如自己还不熟悉【和差化积】公式，其实用正弦定理，余弦定理也不费事：

这个三角形的角B=60度。把【sinA sinB sinC成等比数列】改变成【b²＝ac】。∴cosB=1/2.

又因为b²＝a²＋c²－2ac cosB,即b²＝a²＋c²－ac .

∴ac＝a²＋c²－ac .∴a²＋c²－2ac＝0,∴﹙a-c﹚²＝0,∴a=c.

含有60度角的两个邻边相等，于是这个三角形就是等边三角形。