Question

如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求CC′：BB′ （2）证明：△ACE∽△FBE；
（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的
∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
∴AC/AB=AC′/AB′
∴△AC C′∽△AB B′；
（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的

∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
∴ACAB＝AC′AB′

∴△AC C′∽△AB B′
∴CC′：BB′ =AC：AB=3：4

（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
（3）当β=2α时，AC=BF．
理由：解：∵AC=AC′
∴∠AC C′=∠A C′C=
（180°-∠C AC′）÷2=90°-1/2β=90°-α，
∵∠BCE=∠ACB-∠A C C′=90°-（90°-α）=α，
∴∠BCE=∠ABC，
∴BE=CE．
∵△AC C′∽△AB B′，
∵∠ACE=∠ABF．
在△AEC和△FEB中，

∠ACE＝∠ABF
BE＝CE
∠AEC＝∠FEB
∴△AEC≌△FEB（ASA），
∴AC=BF．