Question

如图,以三角形ABC的边BC,AC为一边作等边三角形BCD和等变三角形ACE,连接DE.试猜想D

试猜想DE与AB的数量关系并证明

Answer 1

等边三角形各边相等，所以a'=a,b'=b

AB^2=a^2+b^2-2abcos∠ACB

DE^2=a^2+b^2-2abcos∠DCE=a^2+b^2-2abcos(240-∠ACB)

cos(240°-∠ACB)=-1/2cos∠ACB-√3/2sin∠ACB

∴DE^2-AB^2=ab(cos∠ACB+√3sin∠ACB)+2abcos∠ACB

                     =ab(3cos∠ACB+√3sin∠顷弊ACB)

             游则      雀磨族  =2√3 ab(√3/2cos∠ACB+1/2sin∠ACB)=2√3absin(π/3+∠ACB)

∴当0<∠ACB<2π/3时，DE^2-AB^2>0,DE>AB

   当∠ACB=2π/3时，DE=AB

   当∠ACB>2π/3时，DE<AB

追问

是这个图,

追答

∠ECB=∠ECD+60，同时∠ECB=∠BCA+60，∴∠ECD=∠BCA
在ABC中，由余弦定理：BC^2+AC^2-2BC*ACcos∠BCA=AB^2
在DEC中，由余弦定理：
DE^2=DC^2+EC^2-2DE*ECcos∠ECD=BC^2+AC^2-2BC*ACcos∠BCA=AB^2
因此DE=AB

还有一种更简单的方法：
∠ECB=∠ECD+60，同时∠ECB=∠BCA+60，∴∠ECD=∠BCA
又EC=AC,DC=BC∴△ECD≌△ACB
∴DE=AB