Question

如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E为BC的中点,F在棱

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值第二问求详细解答

Answer 1

一,延长FE与AB的延长线交於G,则二面角A-DG-F或其补角是所求角.
设CF=1,则易证BD=2√2,BG=√2,DG=√10
DE=√6,EG=2,∠AGF=45°
设二面角A-DG-F为∠GD,由三面角馀弦定理得
cos∠AGF=cos∠AGD*cos∠DGF+sin∠AGD*sin∠DGF*cos∠GD
解得cos∠GD=√6/4为锐角
因此所求馀弦值为√6/4
二,数字同上,易证S△AFG=9/2,S△ADG=6
设F到面ADG距离为h,由体积法得h=S△AFG*DE/S△ADG=3√6/4
∴GF与面ADG所成角Θ的正弦为sinΘ=h/FG=√6/4
由GF与DG所成角∠DGF的正弦为sin∠DGF=√6/√10
由三正弦定理得二面角A-DG-F的正弦sinα=sinΘ/sin∠DGF=√10/4
∴所求馀弦值为√(1-sin²α)=√6/4
三,数字同上,过E作EH⊥BD于H,易证EH⊥面ADG
∴△DGE在面ADG上的射影是△DGH
易证GH=√2,DH=3√2/2,∴S△DGH=3/2
易证EG=2,DE=√6,∴S△DGE=√6
由面积射影定理得cosΘ=S△DGH/S△DGE=√6/4