Question

无穷级数求和1/(2n)!，从n=1到无穷

Answer 1

令s(x)=Σ1/(2n!)x^2n=1/2!x²+1/4!x^4+1/6!x^6+....

s'(x)=1/1！x+1/3! x³+1/5!x^5+......

s''(x)=1+1/2!x²+1/4!x^4+1/6!x^6+....=1+s(x)

s''(x)-s(x)=1

1. s''(x)-s(x)=0通解
   

   r²-1=0

   r=1或-1

   通解为c1e^x+c2e^(-x)

2. s''(x)-s(x)=1特解

   s(x)=-1

   所以

   s''(x)-s(x)=1的通解为s(x)=c1e^x+c2e^(-x)-1

   s(0)=0,s'(0)=0

   s'(x)=c1e^x-c2e^(-x)

   c1+c2=1

   c1-c2=0

   c1=c2=1/2

   所以

   s(x)=[e^x+e^(-x)]/2 -1

   从而

   
   

   无穷级数求和1/(2n)!，从n=1到无穷 和=s(1)=[e+e^(-1)]/2 -1
   

Answer 2