Question

不等式x^2+x+1/x+1/x^2<0的解集是____

Answer 1

方法一：
显然，x不为0，否则原不等式没意义。
一、当x＞0时，由基本不等式，有：x＋1/x≧2，x^2＋1/x^2≧2，∴x^2＋x＋1/x＋1/x^2≧4。
　　这与原不等式相矛盾，∴此时原不等式无解。

二、当x＜0时，（－x）＋（－1/x）≧2，∴x＋1/x≦－2。······①
　　设x＋1/x＝y，则x^2＋1/x^2＝（x＋1/x）^2－2＝y^2－2，
　　∴原不等式可写成：y^2－2＋y＜0，∴（y＋2）（y－1）＜0，∴－2＜y＜1。
　　∴－2＜x＋1/x＜1。······②
　　①、②的矛盾说明：此时原不等式无解。

即：原不等式无解。

方法二：
设x＋1/x＝y，则x^2＋1/x^2＝（x＋1/x）^2－2＝y^2－2，
∴原不等式可写成：y^2－2＋y＜0，∴（y＋2）（y－1）＜0，∴－2＜y＜1。
∴－2＜x＋1/x＜1。

显然，x不为0，否则原不等式没意义。
一、当x＞0时，－2＜x＋1/x＜1等价于：－2x＜x^2＋1＜x。
　　由－2x＜x^2＋1，得：x^2＋2x＋1＞0，即（x＋1）^2＞0，此时x为任意正数。
　　由x^2＋1＜x，得：x^2－x＋1＜0，∴（x－1/2）^2－1/4＋1＜0。这当然是不合理的。

二、当x＜0时，－2＜x＋1/x＜1等价于：－2x＞x^2＋1＞x。
　　由－2x＞x^2＋1，得：x^2＋2x＋1＜0，即（x＋1）^2＜0。这当然也是不合理的。

综上一、二所述，原不等式无解。