Question

这个级数的收敛发散怎么判断？？？？急求对了加分

不好打数学符号、我就口述了、首先求和符号上面是无穷、下面是
n=1,然后是一般项、为（-1）^n乘以x的n次方与n的比值、其中x大于零、问为何x大于1时级数发散、书上直接加了绝对值算出绝对值发散、我觉得不对吧

Answer 1

由加绝对值以后的级数发散确实不能说明原级数发散.
但是我估计这不是书上的本意 (究竟如何还是要你自己确认).
书上应该是使用了级数收敛的一个必要条件: 若级数收敛, 则通项收敛到0.
当|x| > 1时, 可证通项的绝对值|x|^n/n趋于无穷, 因此通项不能收敛到0, 级数发散.

追问

我还是不懂啊，是通项的绝对值趋于无穷，又不是通项趋于无穷……只能说通项的绝对值不能收敛到零不是吗？求问啊，我数分实在很差，谢谢

追答

通项收敛到0和通项的绝对值收敛到0是等价的,
回顾一下数列极限的定义应该就能明白的.
而且我之所以取绝对值只是为了方便,
不取绝对值也能说明|x| > 1时, (-1)^n·x^n/n不收敛到0, 建议你自己试试.

追问

我就是这个不会啊亲T^T就我也想过证明通项不收敛到零，但是这个不会证明

追答

这样的话我补几个证明, 同时建议极限的部分还是重视一下, 毕竟是基础.
(1) 若数列a[n]收敛到0, 则|a[n]|也收敛到0.
由极限定义, a[n]收敛到0, 即对任意ε > 0, 存在N,
使得n > N时恒成立: |a[n]| = |a[n]-0| N时有: ||a[n]|-0| = |a[n]| 0, 则当n → ∞时(1+b)^n/n → +∞.
提供两种证法, 一种是不等式放缩:
由二项式定理n > 1时, (1+b)^n = 1+bn+b^2·n(n-1)/2+...+b^n.
而b > 0, 故有(1+b)^n > b^2·n(n-1)/2, 于是(1+b)^n/n > b^2·(n-1)/2.
易见右端→ +∞, 因此(1+b)^n/n同样→ +∞.
另一种是用L'Hosptial法则:
考虑∞/∞型函数极限lim{x→ +∞} (1+b)^x/x.
由L'Hospital法则, lim{x→ +∞} (1+b)^x/x = lim{x→ +∞} ln(1+b)·(1+b)^x = +∞.

(4) |x| > 1时(-1)^n·x^n/n不收敛到0.
这个可以将(1)和(3)的结论结合起来证明:
假设(-1)^n·x^n/n收敛到0, 则由(1)有|x|^n/n收敛到0.
而由|x| > 1, 根据(3)得|x|^n/n → +∞, 矛盾, 因此|x|^n/n不收敛到0.
另外也可以直接证明:
取ε = |x|-1 > 0, 则|x|^n = (1+ε)^n = 1+εn+... > εn.
于是|(-1)^n·x^n/n-0| = |x|^n/n > ε对任意n成立,
由极限的定义即知(-1)^n·x^n/n不收敛到0.

追问

老师你太厉害了，能不能给我个QQ号，我还想问问题>3<太谢谢你了

追答

不用谢, 能帮到你就好.
我不用QQ的, 有问题可以百度Hi或者私信联系.

追问

好的>3<