Question

因式分解与分组分解试题

刚上高中，老师讲了一些衔接内容，希望有些试题做。

Answer 1

因式分解综合测试　　一、填空题 　　(1)x2+2x-15=(x-3)( _____) 　　(2)6xy-x2-5y2=-(x-y)( _____). 　　(3) _____=(x+2)(x-3). 　　(4) 分解因式x2+6x-7=_____. 　　(5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_____, c=_____. 　　(6)若x2+7x=18成立，则x值为_____。 　　(7) 若x2-3xy-4y2=0，且x+y≠0，则x=_____. 　　(8) (x-y)2+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____). 　　(9)多项式 x2+3x+2, x2-2x-8, x2+x-2的公因式为_____。 　　(10) 已知a, b为整数，且m2-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_____,b=_____. 　　二、选择题 　　(1)若x2+2x+y2-6y+10=0，则下列结果正确的是（　　）。 　　A、x=1, y=3　　B、x=-1,y=-3 　　C、x=-1,y=3　　D、x=1,y=-3 　　(2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（　　）。 　　A、15　　B、-15　　C、14　　D、-14 　　(3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于（　　）。 　　A、2　　B、4　　C、6　　D、8 　　(4)若x+y=4, x2+y2=6，则xy的值是（　　）。 　　A、10　　B、5　　C、8　　D、4 　　(5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是（　　）。 　　A、(x2+2x+1)2　　B、(x2-2x+1)2 　　C、(x+1)4　　　　D、(x-1)4 　　(6) -(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（　　）。 　　A、4x2-y2　　B、4x2+y2　　C、-4x2-y2　　D、-4x2+y2 　　(7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（　　）。 　　A、-5　　B、7　　C、-1　　D、7或-1 　　(8) 已知x3-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（　　）。 　　A、(x+4)(x-2)2　　B、(x+4)(x2+x+1) 　　C、(x+4)(x+2)2　　D、(x+4)(x2-x+1) 　　三、因式分解 　　(1)x(x+y+z)+yz 　　(2) x2m+ xm+ 　　(3) a2b2-a2-b2-4ab+1 　　(4) a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4 　　(5) x4-6x2+5 　　(6) x4-7x2+1 　　(7)3a8-48b8 　　(8) x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz 　　四、解答题 　　1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求a,b的值。 　　2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。 　　3.已知n为正整数，试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。 　　4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x2+3y2; (2) (x-y)2. 　　5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a2-b2-c2-2bc<0. 　　五、利用因式分解计算： 　　(1) 已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a2+2ab-b2+2=0，求长方形面积。 　　(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。 　　(3) 如图2，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（p取3.14，结果保留三位有效数字）。 　　 　　　答案： 　　一、 　　(1) x+5　 　　(2) x-5y　 (3) x2-x-6 　　(4) (x+7)(x-1)　 (5) -1, -12 　　(6) -9或2 　　(7) 4y　 　(8) x-y, 14　　(9) x+2　 　　　　(10) -6或1，1或-6 　　二、 　　(1) C　　(

Answer 2

因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
写出结果．
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果 有两个根X1，X2，那么

考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（ ）���������
(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2
从左到是因式分解的个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1

(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y2

8．在实数范围内因式分解：
(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2

考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1

(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1

(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2

*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2

(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2

(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1

(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2

解题指导：
1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（ ）
（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于0
3．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1
4．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6

(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12

(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4

＊4。已知a＋b＝1,求a3＋3ab＋b3的值

5．a、b、c为⊿ABC三边，利用因式分解说明b2－a2＋2ac－c2的符号

6．0＜a≤5，a为整数，若2x2＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a

独立训练：
1．多项式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( －15 y), (2).5x2＋6xy－8y2＝(x )( －4y).
3．矩形的面积为6x2＋13x＋5 (x>0),其中一边长为2x＋1,则另为 。
4．把a2－a－6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
5．多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
7．关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3) 则m,n的值为（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12.
9．代数式y2＋my＋254 是一个完全平方式，则m的值是 。
10．已知2x2－3xy＋y2＝0（x,y均不为零），则 xy ＋ yx 的值为 。
11．分解因式:
(1).x2(y－z)＋81(z－y) (2).9m2－6m＋2n－n2

＊(3).ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) (4).a4－3a2－4

＊(5).x4＋4y4 ＊(6).a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1

12．实数范围内因式分解
（1）x2－2x－4 （2）4x2＋8x－1 （3）2x2＋4xy＋y2
分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)