Question

1.（1）如图1，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线，

1.（1）如图1，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线，试探究∠BPC与∠A的关系。 （2）如图2，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠E与∠A的关系。

Answer 1

设AB延长线上有一点E，AC延长线上有一点F，则有：
∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180
∠ A=180-(∠ ABC+∠ ACB)
=180-(360-∠CBE-∠BCF)
又∠P＝180-1/2(∠CBE+∠BCF)
　　＝1/2（360－∠CBE-∠BCF）
所以∠ P＝90－1/2∠ A

解：
∵∠ABD＝∠A+∠ACB，BE平分∠ABD
∴∠EBD＝∠ABD/2＝（∠A+∠ACB）/2
∵CE平分∠ACB
∴∠ECB＝∠ACB/2
∴∠EBD＝∠BEC+∠ECB＝∠BEC+∠ACB/2
∴∠BEC+∠ACB/2＝（∠A+∠ACB）/2
∴∠BEC＝∠A/2

Answer 2

（1），∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，∠P=180°-(∠PBC+∠PCB),∠PBC=1/2∠DBC,∠PCB=1/2∠BCE，∠DBC=180°-∠ABC,∠BCE=180°-∠ACB,∴∠PBC=1/2（180°-∠ABC)=90°-1/2∠ABC,∠PCB=1/2(180°--∠ACB）=90°-1/2∠ACB,∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-（90°-1/2∠ABC+90°-1/2∠ACB）=1/2(∠ABC+∠ACB),∴2∠P=∠ABC+∠ACB，∴）∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠P