Question

m为何值时,关于x的方程(m+1)x^2+2(2m+1)x+(1-3m)=0

(1)有两个正实根
(2)有一正一负两实根

Answer 1

对于根的控制，学过没有啊？
第一题：
有两个正实根，则方程一定是二次函数，所以二次项系数m+1不等于0，m不等于-1
判别式=b^2-4ac=4(4m^2+4m+1)-4(m+1)(1-3m)>=0，（保证有2个实数根）
4m^2+4m+1+3m^2+2m-1>=0
7m^2+6m>=0
m<=-6/7 或 m>=0
对称轴x=-b/(2a)=-(2m+1)/(m+1)>0，（两个正根的条件1）
-1<m<-1/2
开口朝上时，y轴截距1-3m大于0，开口向下时，y轴截距1-3m小于0
所以(m+1)(1-3m)>0，（两个正根的条件2）
-1<m<1/3
综上所有，m的范围为(-1,-6/7]
第二题：
这种最好控制了，一正一负两个根，则有：
开口向上时（m+1>0），y轴截距1-3m小于0，开口向下时（m+1<0），y轴截距1-3m大于0，所以：
(m+1)(1-3m)<0
m<-1 或 m>1/3
所以m的范围为(负无穷,-1)并(1/3,正无穷)

Answer 2

∵方程有两个实根
∴4(2m＋1)²－4(m＋1)(1－3m)＞0 ∴7m²＋6m＞0 ∴m(7m＋6)＞0
∴m＞0或m＜﹣6/7
设两个根为X1，X2，则x1＋x2＝﹣2(2m＋1)/(m＋1) x1x1＝(1－3m)/(m＋1)
(1)有两个正实根 ∴x1＋x2＞0且x1x2＞0
∴﹣2(2m＋1)/(m＋1)＞0且x1x1＝(1－3m)/(m＋1) ＞0 ∴﹣1＜m＜﹣1/2且﹣1＜m＜1/3
∴﹣1＜m＜﹣1/2
∵m＞0或m＜﹣6/7 ∴﹣1＜m＜﹣6/7
(2)有一正一负两实根 ∴x1x2＜0
∴(1－3m)/(m＋1) ＜0 ∴m＜﹣1或m＞1/3 ∵m＞0或m＜﹣6/7 ∴m＜﹣1或m＞1/3