Question

求1/√x（1+x）的不定积分

Answer 1

设1/√x（1+x）

则x=(1-t²)/(1+t²)

dx=-4t/(1+t²)²

因此用换元法可将原不定积分化为有理分式的不定积分

=-∫4t²/(1+t²)²dt

=-∫4/(1+t²)dt+4∫1/(1+t²)²dt

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不定积分性质

观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质

(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x)。

(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数。

(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x) G(x) C。

Answer 2

设t=√x， dx=2tdt

原式=∫2tdt/(1-t)

=2∫(t-1+1)dt/(1-t)

=-2t-2ln绝对值（1-t)+C

代回

=-2√x-ln绝对值（1-√x)+C

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不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

如图