Question

数学函数问题

已知函数f(x)=2分之根号3乘以sin2x-cosx的平方-1/2(x属于R ) 1.当x[0,派 ]时，求f(x)的最大值和最小值 2.设三角形ABC的内角A B C所对应的边分别是abc，且c=根号3，f(C)=0，若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，求a,b的值

Answer 1

考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．

专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；
（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB-2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．解答：解：（1）函数f（x）=32sin2x-cos²x-12=32sin2x-12cos2x-1=sin（2x-π6）-1，
∵x∈[-π12，5π12]
∴2x-π6∈[-π3，2π3]则sin（2x-π6）∈[-32，1]
∴函数f（x）的最小值为-32-1和最大值0；
（2）∵f（C）=sin（2C-π6）-1=0，即  sin（2C-π6）=1，
又∵0＜C＜π，-π6＜2C-π6＜11π6，∴2C-π6=π2，∴C=π3．
∵向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理asinA＝bsinB，得 b=2a，①
∵c=3，由余弦定理得3=a²+b²-2abcosπ3，②
解方程组①②，得 a=1，b=2．点评：本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题