Question

求解微分方程 y'+x=√(x²+y)

Answer 1

设y=tx^2,则y'=x^2*t'+2tx,
原方程变为x^2*t'+2tx+x=土x√(1+t),
两边都除以x,得xt'+2t+1=土√(1+t),
分离变量得dt/[2t+1干√(1+t)]=-dx/x,①
1//[2t+1干√(1+t)]=[2t+1土√(1+t)]/[t(4t+3)],
(2t+1)/[t(4t+3)]=(1/6)[2/t+1/(t+3/4)],
设u=√(1+t),则t=u^2-1,dt=2udu,
∫√(1+t)dt/[t(4t+3)]=∫2u^2du/[(u^2-1)(4u^2-1)]
=(1/3)∫[1/(u-1)-1/(u+1)-1/(2u-1)+1/(2u+1)]du
=(1/3)[ln|(u-1)/(u+1)]+(1/2)ln|(2u+1)/(2u-1)|]+c
=(1/3){ln|(√(1+t)-1)^2/t|+(1/2)ln|(2√(1+t)+1)^2/(4t+3)|}+c,
所以①积分得（1/6）ln[t^2(t+3/4)]土(1/3){ln|(√(1+t)-1)^2/t|+(1/2)ln|(2√(1+t)+1)^2/(4t+3)|}+c=-x.
把t=y/x^2代入上式即可。
仅供参考。

Answer 2

不知道，真的。