Question

如图,二次函数y=ax²+2ax+4的图像与X轴交于A、B,与Y轴交C，∠CBO的正切值是2

[1]求此二次函数的解析式
[2]动直线l从直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时中止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点。
①直接写出点P所经过的路线长
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由。
③在②的条件下，连接EF，求EF最小值。

看在我打字这么辛苦的份上大神帮下忙详细点思路可以吗！

Answer 1

二次函数y=ax²+2ax+4的图像与X轴交于A、B,与Y轴交C，∠CBO的正切值是2；
[1]求此二次函数的解析式
解：tan∠CBO=∣OC∣/∣OB∣=4/∣OB∣=2，故OB=4/2=2；即B(2，0)；
将B点的坐标代入抛物线方程得4a+4a+4=8a+4=0，故a=-1/2；于是得二此函数的解析式为：
y=-(1/2)x²-x+4；
[2]动直线l从直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时中止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点。
①直接写出点P所经过的路线长
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由。
③在②的条件下，连接EF，求EF最小值。
解：y=-(1/2)x²-x+4=-(1/2)(x+1)²+9/2；又y=-(1/2)x²-x+4=-(1/2)(x²+2x-8)=-1/2)(x+4)(x-2)；
故A(-4，0)；B(2，0)；对称轴x=-1；顶点D(-1，9/2)；C(0，4)；
①点P所经过的路线长=(1/2)∣BC∣=(1/2)√(4+16)=(1/2)√20=√5；
②∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴A，F，D，E四点共圆，且P为该圆的圆心；因此圆心角∠EPF=2∠EAC
=2×45º=90º=定值。
③在RT△EPF中，EF²=PE²+PF²；
PE=PF=AP=(1/2)AD；当AD⊥BC时AD最小；
BC所在直线的斜率k=2，故BC所在直线的方程为y=2x+4，即2x-y+5=0，设点A到BC的距离为d，
则∣AD∣min=d=∣-8+5∣/√5=(3/5)√5；故当∣PE∣=∣PF∣=∣AP∣=d/2=(3/10)√5时∣EF∣最小。即∣EF∣min=√(PE²+PF²)=√[2(d²/4)]=(1/√2)d=(√2/2)d=(√2/2)[(3/5)√5]=(3/10)√10

Answer 2

1、由函数解析式可知，C（0,4），由正切可得B（2,0），代入函数解析式，得a=-1/2，可求函数解析式为：y=-1/2x²-x+4
2、①点P的轨迹为△ABC的一条中位线，长为BC的一半，即为根号5；
②四边形EAFP中∠AEF，∠AFE为直角，∠OAC为45度的角（OA＝4＝OC），所以∠EPF大小不变为135°
3、当AD⊥BC时，EF最小，用相似来求。

追问

还没回答完问题呢，第一问我自己刚做出来不过后面两问没思路了！！

追答

对不起，第2、②问与第3题把题读错了，理解成了过P作PE⊥AC，…了。

Answer 3

我认为作圆更容易