Question

泰勒公式推导？

为什么一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)可以利用(x-x0)的多项式来逼近函数？

Answer 1

条件是这个多项式在该点收敛，如果不收敛，是不能用来做逼近函数的。
收燃简敛，就孙段尘则禅是取无穷项，多项式可以精确等于f(x).
取足够多的项，多项式可以以任意精确逼近f(x).

Answer 2

印象中泰勒展开式是没有推导过程的。

但可以模拟“泰勒”思路说明这个展开式是怎么来的。

复杂函数的求导和积分都非常麻烦，有没有一种方法把复杂函数变成另一种逼近它的函数然后用新函数代替复杂函数呢？比如多项式函数就很简单。那要怎么操作？

多项式函数的标准形式

f(x)=a+bx+cx^2+dx^3+....+£x^n

实际上这也是n次函数的一般式。

现在我们对g(x)=cosx进行研究，并用f(x)拟合g(x)在x=0附近的曲线。

g(0)=cos0=1。拟合函数f(0)也应该等于1。f(0)=a，即a=1。这样我们就发现了f(x)中常数项的值很容易求得，但是f(x)里常数山粗乱项只有a，那我要怎么把剩下的b,c,d都变成常数项呢？

f(x)两边同时对x求导，f'(x)=b+2cx+3dx^2...，这样b也变成常数项啦！f'(0)=g'(0)=-sin0=0,所以b=0。

同理，f'(x)两边分别求导凳前，f''(x)=2c+6dx+...，c也变成常数啦。g''(0)=-cos0=-1，所以2c=-1，c=-1/2。

重复上列步骤，最终求出所有x前系数，代入f(x)中，即(x=0附近)cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+.....+(-1)^kx^2k/(2k)!+¤(x(2k+1))。这就得到了cosx的麦克劳林展开式，即泰勒展开式在x=0时的形式。当x≠0时，用同样可以方法推导出泰勒展开式的一般形式。逗档

泰勒展开式一般形式