Question

过抛物线y=ax^2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF于FQ的长分别为p、q，求1/p+1/p。

Answer 1

x=y/a,∴焦点F(0,1/4a),准线:y=-1/4a PQ斜率必然存在,设PQ:y=kx 1/4a ∴y=ax=kx 1/4a ∴ax-kx-1/4a=0 由韦达定理x1 x2=k/a,x1x2=-1/4a 由抛物线第二定义:抛物线上的点到焦点的扮拦距离的距厅亮胡离等于到准线的距离 ∴p=|PF|=P到准线距离=y1-(-1/4a)=y1 1/4a,q=|FQ|=Q到准线的距离=y2-(-1/4a)=y2 1/4a ∴1/p 1/q=1/(y1 1/4a) 1/(y2 1/4a)=1/(kx1 1/4a 1/4a) 1/(kx2 1/4a 1/4a) =1/(kx1 1/2a) 1/(kx2 1/2a)=[(kx2 1/2a) (kx1 1/2a)]/(kx1 1/2a)(kx2 1/2a) =[k(x1 x2) 1/a]/[kx1x2 (k/2a)(x1 x2) 1/4a] =(k/a 1/a)/[-k/4a k/键雹2a 1/4a] =[(k 1)/a]/[(k 1)/4a] =4a