Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-x/(x+1) , (1)求函数f(x) 的极小值; (2)若a>0,b>0,求证:lna-lnb>=1-b/a

Answer 1

（1）f(x)=ln(1-x)-x/(x+1)=ln(1-x)-1+1/(x+1)，定义域x＜1且x≠-1，f'(x)=1/(1-x)-1/(x+1)²=通分化简=x（x+3）/[（1-x）（1+x）²]，由定义域可知导数分母恒正，0＜x＜1和x＜-3时导数为正，-3＜x＜-1和-1＜x＜0时导数为负，x=-3或0时导数为0，故函数最小值为f（0）=0或f（-无穷）=ln（+无穷）-1=+无穷恒＞0，故函数最小值为f（0）=0
（2）所以f(x)=ln(1-x)-x/(x+1)≥0，ln(1-x)≥x/(x+1)=1-1/(x+1)
a>0，b>0，则a/b>0，令a/b=1-x，则x=1-a/b，ln（a/b）=ln(1-x)≥1-1/(x+1)=1-1/(1-a/b+1)

Answer 2

f(x)=ln(1+x)-1+1/(1+x)
f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2
x>0
f'(x)>0,f(x)递增
-1
=1-b/a
就是：ln(a/b)-1+b/a>=0
a>b>0,a/b>1
由f(x)=ln(1+x)-1+1/(1+x)式可以知道
ln(a/b)-1+b/a其实就是f(a/b
-1)
因为(a/b
-1）>0,故f(a/b
-1)>=f(0)=0
即ln(a/b)-1+b/a>=0
lna-lnb>=1-b/a