Question

求所有的正整数n，使得n⁴-4n³+22n²-36n+18是一个完全平方数。

还有一个类型题：
求所有的正整数n，使得n⁴+6n³+11n²+3n+31是一个完全平方数。

两个都求解！

Answer 1

解：
n⁴-4n³+22n²-36n+18
=n²(n²-4n+4)+18n²-36n+18
=n²(n-2)²+18n²-36n+18
=(n²-2n)²+18(n²-2n)+18
=(n²-2n)²+18(n²-2n)+81-63
=[(n²-2n)+9]²-63
=(n²-2n+9)²-63
设上式等于k²，k为正整数，则有
(n²-2n+9)²-63=k²
(n²-2n+9)²-k²=63
(n²-2n+9-k)(n²-2n+9+k)=63=1×3×3×7
显然，(n²-2n+9-k)<(n²-2n+9+k)，所以有以下3种情形：
①1×63，则
(n²-2n+9-k)=1
(n²-2n+9+k)=63
两式相加，整理得：
n²-2n-23=0
n²-2n+1=24
(n-1)²=24
可见，无正整数解；
②3×21，则
(n²-2n+9-k)=3
(n²-2n+9+k)=21
两式相加，整理得：
n²-2n-3=0
(n-3)(n+1)=0
解得：n=3，和n=-1(舍去)，
所以n=3，此时原式=9²，符合要求；
③7×9，则
(n²-2n+9-k)=7
(n²-2n+9+k)=9
两式相加，整理得：
n²-2n+1=0
(n-1)²=0
解得：n=1，此时原式=1，符合要求；

综上，符合要求的正整数n只有两个，分别为1和3。

答案来源：http://zhidao.baidu.com/link?url=EbNFT-M45P1leR7lV-7bvlgDwIg2rJpeXa-V3dYjkrVYAmlcMv4nE6J_71Obw802GVrYnjGNYyNHnrXTq0YROq
不懂的请追问！

追问

两个题都有了吗？

追答

第二题：
n⁴+6n³+11n²+3n+31
>n⁴+6n³+9n²=(n^2+3n)²
n⁴+6n³+11n²+3n+31-(n²+3n+4)²=15-6n²-21n<0
所以
(n²+3n)²<n⁴+6n³+11n²+3n+31<(n²+3n+4)²
（1）若n⁴+6n³+11n²+3n+31=（n²+3n+1)²则
3n=30
n=10
（2）若n⁴+6n³+11n²+3n+31=（n²+3n+2)²
2n²+9n-27=0
无正整数解
（3）若n⁴+6n³+11n²+3n+31=（n²+3n+3)²
4n²+15n-22=0
无正整数解
所以
n=10

追问

不对，题打错了，第二题应该是整数n，这样的话第二题确定范围及不对了，不好意思，麻烦了@

追答

对的，我就是按照整数做的，否则还应该考虑n²+3n+1.5 n²+3n+1.6……

追问

我在看看啊

追答

嗯嗯

追问

第二题第三步为什么一定要是（n²+3n+4）²，这里面有什么原理？

追答

太大也没用啊，这个需要草稿纸上严重的
目的是找到x使 n⁴+6n³+11n²+3n+31-(n²+3n+x)²<0 也就是找到n⁴+6n³+11n²+3n+31的上限
x越小最后需要讨论的范围就越小

追问

那把范围缩小到（n²+3x+2）²行不行

追答

你拆开验算，n⁴+6n³+11n²+3n+31-(n²+3n+2)²>0不是上限，所以不行

追问

上限是什么意思？

追答

比如x<4
则4就是x的上限