Question

用数学归纳法证明:1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/(2n-1)(2n+1)=n/(2n+1)(n∈N*)

Answer 1

证明：
当n=1时，明显有1/(1×3)=1/(2×1+1)成立，则原式成立。
假设当n=k时，有1/1×3+1/3×5+...+1/(2k-1)(2k+1)=k/2k+1成立，
则当n=k+1时，
1/1×3+1/3×5+...+1/(2k-1)(2k+1）+1/(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)
=k/2k+1
+
1/(2k+1)(2k+3)
=k(2k+3)/(2k+1)(2k+3)+1/(2k+1)(2k+3)
=(2k²+3k+1)/(2k+1)(2k+3)
=(2k+1)(k+1)/(2k+1)(2k+3)
=(k+1)/(2(k+1)+1)
综上，由数学归纳法可知，1/1×3+1/3×5+...+1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1（n=1，2，3，……）成立

Answer 2

这个题目不用数学归纳法，用裂项法即可
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以
1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/(2n-1)(2n+1)
=1/2[1-1/3+1/3-1/5+...1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)