Question

求这几个函数的值域，速度求解。

Answer 1

y＝√﹣2x²＋x＋3
∵﹣2x²＋x＋3＝﹣2(x²－1/2x＋1/16)＋25/8＝﹣2(x－1/4)²＋25/8≤25/8
∵﹣2x²＋x＋3≥0 ∴y∈[0,5√2/4]

y＝(x²－x＋1)/(x²＋x＋1)
∴x²－x＋1＝yx²＋yx＋y ∴(1－y)x²－(1＋y)x＋1－y＝0
当y＝1时，﹣2x＝0 x＝0 y＝(x²－x＋1)/(x²＋x＋1)有意义
当y≠1时，x存在，即(1－y)x²－(1＋y)x＋1－y＝0有解
∴⊿＝(1＋y)²－4(1－y)²≥0 ∴1/3≤y≤3
∴y∈[1/3,3]

y＝x＋2/x(0＜x＜1)
设0＜x1＜x2＜1，则y1－y2＝(x1－x2)＋2(1/x1－1/x2)＝(x1－x2)(1－2/x1x2)
＝(x1－x2)(x1x2－2)/x1x2
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 x1x2－2＜0 x1x2＞0 ∴y1－y2＞0 ∴y1＞y2
∴y＝x＋2/x在0＜x＜1上是减函数 ∴y∈(3,＋∞)

y＝(2x＋1)/(x－3)
∵y＝(2x＋1)/(x－3)＝[2(x－3)＋7]/(x－3)＝2＋7/(x－3) ∵x－3≠0 ∴y≠2
∴y∈(﹣∞,2)∪(2,﹢∞)

y＝2x＋√2x－1
设t＝√2x－1，则y＝t²＋1＋t(t≥0)
∴y＝(t²＋t＋1/4)＋3/4＝(t＋1)²＋3/4 ∵t≥0 ∴y≥1＋3/4＝7/4 ∴y∈[7/4,﹢∞)

y＝(x²＋5)/√(x²＋4)＝√(x²＋4)＋1/√(x²＋4)
设t＝√(x²＋4)，则y＝t＋1/t(t≥2)
设t2＞t1≥2 ∴y2－y1＝(t2－t1)＋(1/t2－1/t1)＝(t2－t1)(t1t2－1)/t1t2
∵t2＞t1≥2 ∴t2－t1＞0 t1t2－1＞0 t1t2＞0 ∴y2－y1＞0 ∴y2＞y1
∴y是增函数 ∴y≥5/2 ∴y∈[5/2,﹢∞)