Question

施密特正交化后得到的向量还是原矩阵的特征向量吗？

Answer 1

施密特正交化后得到的向量还是原矩阵的特征向量。

对于实对称矩阵而言Gram-Schmidt正交化不会破坏特征向量，实对称矩阵关于不同特征值的特征向量是相互正交的，所以在正交化过程中这一角度不会改变。

对于重特征值而言，其特征向量经过线性组合之后仍然是同一个特征值对应的特征向量（只要这个向量非零），正交化过程相当于给特征子空间找一组标准正交基。

方法

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。