Question

二阶非齐次线性微分方程

Answer 1

二阶非齐次线性微分方程内容如下：

这是一类具有非齐次项的线性微分方程，其中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

二阶非齐次线性微分方程的求解：

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，它的特解。

当，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。

当，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。

三阶非齐次线性微分方程的求解：

三阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y'''+p1y''+p2y'+p3y=f(x)，设其特征方程的三个特征跟分别是r1，r2，r3，特解为

（1）当r1，r2，r3都是实数时，y*=y1是方程的特解。

（2）当r1是实数，r2，r3是共轭复数时，则y1和y2是共轭复数，因此，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。