Question

已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.

Answer 1

这种题要分成x<=a,a<x<b,x>b三种情况讨论，做起来很繁杂。

换个角度，用数形结合来解决就很容易：
设A、B两点在数轴上分别表示a,b两个数，x在数轴上表示动点P，则|x-a|+|x-b|=PA+PB
很明显，当P点在线段AB上时，PA+PB有最小值AB
即当a≤x≤b时，|x-a|+|x-b|有最小值b-a

Answer 2

当x<a时，|x-a|+|x-b|=a-x+b-x=a+b-2x
当a≤x≤b时，|x-a|+|x-b|=x-a+b-x=a+b
当x>b时，|x-a|+|x-b|=x-a+x-b=2x-a-b
则最小值为
a+b-2x

Answer 3

b<x时，原式=x-a+x-b=2x-a-b
a≤x≤b时，原式=x-a-x+b=-a+b
x<a时，原式=-x+a-x+b=-2x+a+b
故|x-a|+|x-b|的最小值为b-a

Answer 4

b<x时，原式=x-a+x-b=2x-a-b
b>x>a时，原式=x-a-x+b=-a+b
x>b时，原式=-x+a-x+b=-2x+a+b