Question

二重积分极坐标计算方法

Answer 1

极坐标一般用于积分域是圆或其中一部分的，积分域用极坐标表示比直角坐标表示明显简单的，积分函数含有 x^2+y^2，特别是含有它们的分数方次的情况。

例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算：

1、积分区域D与圆有关（可以是部分圆域，例如圆周与直线所围成的区域）。

2、被积函数f（x，y）中含有形如x²+y²，xy，y/x，x/y的式子。

若1、2同时满足，则必定要采用极坐标计算，但如果仅满足其中一个，特别是1不满足时，有时用直角坐标计算反而更方便。

由于极坐标的坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡儿坐标系）简单得多。比如双纽线，心脏线。

极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述；极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。