Question

1+sinx/sinx+cosx的积分？

Answer 1

这个积分可以通过借助三角恒等式进行配方，得到：
1 + sinx / sinx + cosx = (sinx + cosx) / sinx + cosx + sinx - cosx = 2sinx / 2sinx + cosx
于是，原积分可以写成：
∫(1 + sinx / sinx + cosx)dx = ∫2sinx / 2sinx + cosx dx
接下来做一个代换，令u = 2sinx + cosx，则du/dx = 2cosx - sinx，dx = du / (2cosx - sinx)。把这个代换代入原积分中，得到：
∫2sinx / 2sinx + cosx dx = ∫(2sinx / u)(du / (2cosx - sinx))
只需要对这个新积分进行简单的分部积分即可。将u的积分部分选为v，2sinx / (2cosx - sinx)的部分选为du/dx，得到：
∫(2sinx / u)(du / (2cosx - sinx)) = 2∫(sinx / u)(du / cosx) = 2∫(sinx / u)(cosx / cosx)du
化简得到：
∫(1 + sinx / sinx + cosx)dx = 2∫sinx / (2sinx + cosx) dx = 2ln|2sinx + cosx| + C
其中C是一个常数。因此，原积分的结果为2ln|2sinx + cosx| + C。