3.设随机变量X的概率密度为fx(x)=求随机变量+Y=X^2+和Y+=2X++3的概率密度

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火星网友白心
2023-04-18 · 超过791用户采纳过TA的回答
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首先,由于Y=X^2,可以求出Y的概率密度为fy(y)。
对于任意y,有:
P(Y <= y) = P(X^2 <= y) = P(-sqrt(y) <= X <= sqrt(y))
因为X是随机变量,所以可以根据fx(x)计算上述概率密度。
当y < 0时,fy(y) = 0,因为X^2 >= 0。
当y >= 0时,有:
fy(y) = P(Y <= y)的导数
= d[P(-sqrt(y) <= X <= sqrt(y))]
= d[从 -sqrt(y) 到 fx(x) dx 的 sqrt(y) 的积分]
= d[2 * fx(x) dx 的 0 到 sqrt(y) 的积分]
= 2 * fx(sqrt(y)) * 1/(2sqrt(y)) (应用基本的微积分定理和偏导数链式法则)
= fx(sqrt(y)) / sqrt(y)
所以,Y的概率密度为fy(y) = fx(sqrt(y)) / sqrt(y)。
接下来,考虑随机变量Y+的概率密度。由于Y+=2X+3,可以将其表示为Y+ = g(X)的形式,其中g(x) = 2x+3。因此,可以使用函数变量法计算Y+的概率密度。
对于任意y,有:
P(Y+ <= y) = P(2X+3 <= y)
因为X是随机变量,所以可以根据fx(x)计算上述概率密度
当y < 3时,fy+(y) = 0,因为2X+3 >= 3。
当y >= 3时,有:
fy+(y) = P(Y+ <= y)的导数
= d/DY[P(2X+3 <= y)]
= d/DY[从 -无穷大到 (y-3)/2 的积分 fx(x) dx]
= fx((y-3)/2) * 1/2 (应用基本的微积分定理和偏导数链式法则)
所以,Y+的概率密度为fy+(y) = fx((y-3)/2) * 1/2。
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