Question

在曲面z=2-x²-y²位于第一卦限求一点，使该点切平面与三个坐标面围成四面体体积最小。

Answer 1

【答案】：解析：F（x，y，z）= 2-Z-X²-Y² ; 假设该点为（a，b，c）
F_X（X,Y,Z）= -2X ； F_Y（X,Y,Z）= -2Y ; F_Z(X,Y,Z) = -1; n= （-2a，-2b，-1）
过该点的切平面方程：-2a（X-a）-2b（Y-b）-（Z-c）=0；
求该平面与三个坐标轴围成的体积：
平面与X轴交于（2b²+c）/ 2a + a
平面与Y轴交于（2a²+c）/2b +b
平面与Z轴交(2a² +2b²) +c
V=1/3 * 1/2[(2b²+c)/2a +a] *[(2a² +c)/2b +b] *[(2a²+2b²)+c]
由对称性知a=b, V=(2a+c/2a)²*[4a²+c]=16a⁴+8a²c+3c²+4a²c+c²/4a²
可以看出，a=(1/2)^1/2时，c=1，V取得最小值27/2