3.在n维线性空间V中,设有线性变换A与向量,使得 A^(n-1)a0, 但-|||-A"=0.证明
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亲，你好
！为您找寻的答案：首先，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性无关的。假设存在不全为 $0$ 的系数 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a = 0$。我们需要证明 $c_0=c_1=\cdots=c_{n-1}=0$。考虑多项式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i$。由于 $A$ 与 $f(A)$ 可交换，我们有：$$f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i f(A) A^i a = f(A) (\sum_{i=0}^{n-1} A^i a) = f(A) \frac{A^n - I}{A - I} a$$其中，$\frac{A^n - I}{A - I}$ 是关于 $A$ 的多项式，由于 $A^n a = 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I} a = 0$。又因为 $A^{n-1}a \neq 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I}$ 不为 $0$。因此，我们有 $f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = 0$，即 $f(A) = 0$。根据题意，$A^n a = 0$，所以 $f(A) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a \neq 0$，与 $f(A) = 0$ 矛盾。因此，假设不成立，${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关。其次，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性空间 $V$ 的基。由于 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关，只需证明它们是 $V$ 的一组生成元即可。对于任意向量 $v \in V$，我们可以考虑它在基 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 下的坐标表示。设 $v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i a$，则 $A^k v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^{i+k} a$。因此，$$\begin{aligned}A^n v &= A^{n-1} (A v) = A^{n-1} (\s
！为您找寻的答案：首先，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性无关的。假设存在不全为 $0$ 的系数 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a = 0$。我们需要证明 $c_0=c_1=\cdots=c_{n-1}=0$。考虑多项式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i$。由于 $A$ 与 $f(A)$ 可交换，我们有：$$f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i f(A) A^i a = f(A) (\sum_{i=0}^{n-1} A^i a) = f(A) \frac{A^n - I}{A - I} a$$其中，$\frac{A^n - I}{A - I}$ 是关于 $A$ 的多项式，由于 $A^n a = 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I} a = 0$。又因为 $A^{n-1}a \neq 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I}$ 不为 $0$。因此，我们有 $f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = 0$，即 $f(A) = 0$。根据题意，$A^n a = 0$，所以 $f(A) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a \neq 0$，与 $f(A) = 0$ 矛盾。因此，假设不成立，${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关。其次，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性空间 $V$ 的基。由于 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关，只需证明它们是 $V$ 的一组生成元即可。对于任意向量 $v \in V$，我们可以考虑它在基 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 下的坐标表示。设 $v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i a$，则 $A^k v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^{i+k} a$。因此，$$\begin{aligned}A^n v &= A^{n-1} (A v) = A^{n-1} (\s
咨询记录 · 回答于2023-06-09
3.在n维线性空间V中,设有线性变换A与向量,使得 A^(n-1)a0, 但-|||-A"=0. 证明
亲，你好！为您找寻的答案：证，Aξ，A²ξ，…，A-'ξ线性无关，故组成线性空间V的基。Aξ=0·ξ+1·Aξ+0·A²ξ+…+0·AnE,A(Aξ)=0·ξ+0·Aξ+1·A²É+…+0·A*-ξ,A(A-1ξ)=0·ξ+0·Aξ+0·A²5+…+0·A”E,故A在这组基下的矩阵为00.0010…000 1..0000…1
！为您找寻的答案：证，Aξ，A²ξ，…，A-'ξ线性无关，故组成线性空间V的基。Aξ=0·ξ+1·Aξ+0·A²ξ+…+0·AnE,A(Aξ)=0·ξ+0·Aξ+1·A²É+…+0·A*-ξ,A(A-1ξ)=0·ξ+0·Aξ+0·A²5+…+0·A”E,故A在这组基下的矩阵为00.0010…000 1..0000…1
亲亲你看看哈~
这边可以方便您打出来吗~
这边不方便解答图片的哦~
3.在n维线性空间V中,设有线性变换A与向量a,使得 A^(n-1) a≠0, 但a=A^n证明,a,Aa……，A^(n-1)a是线性空间V的基
3.在n维线性空间V中,设有线性变换A与向量a,使得 A^(n-1) a≠0, 但A^ na＝0，证明,a,Aa……，A^(n-1)a是线性空间V的基
3.在n维线性空间V中,设有线性变换A与向量a,使得 A^(n-1) a≠0, 但A^ （n）a＝0，证明,a,Aa……，A^(n-1)a是线性空间V的基
第三个
亲，你好！为您找寻的答案：首先，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性无关的。假设存在不全为 $0$ 的系数 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a = 0$。我们需要证明 $c_0=c_1=\cdots=c_{n-1}=0$。考虑多项式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i$。由于 $A$ 与 $f(A)$ 可交换，我们有：$$f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i f(A) A^i a = f(A) (\sum_{i=0}^{n-1} A^i a) = f(A) \frac{A^n - I}{A - I} a$$其中，$\frac{A^n - I}{A - I}$ 是关于 $A$ 的多项式，由于 $A^n a = 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I} a = 0$。又因为 $A^{n-1}a \neq 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I}$ 不为 $0$。因此，我们有 $f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = 0$，即 $f(A) = 0$。根据题意，$A^n a = 0$，所以 $f(A) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a \neq 0$，与 $f(A) = 0$ 矛盾。因此，假设不成立，${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关。其次，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性空间 $V$ 的基。由于 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关，只需证明它们是 $V$ 的一组生成元即可。对于任意向量 $v \in V$，我们可以考虑它在基 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 下的坐标表示。设 $v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i a$，则 $A^k v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^{i+k} a$。因此，$$\begin{aligned}A^n v &= A^{n-1} (A v) = A^{n-1} (\s
！为您找寻的答案：首先，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性无关的。假设存在不全为 $0$ 的系数 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a = 0$。我们需要证明 $c_0=c_1=\cdots=c_{n-1}=0$。考虑多项式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i$。由于 $A$ 与 $f(A)$ 可交换，我们有：$$f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i f(A) A^i a = f(A) (\sum_{i=0}^{n-1} A^i a) = f(A) \frac{A^n - I}{A - I} a$$其中，$\frac{A^n - I}{A - I}$ 是关于 $A$ 的多项式，由于 $A^n a = 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I} a = 0$。又因为 $A^{n-1}a \neq 0$，所以 $\frac{A^n - I}{A - I}$ 不为 $0$。因此，我们有 $f(A) (\sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a) = 0$，即 $f(A) = 0$。根据题意，$A^n a = 0$，所以 $f(A) = \sum_{i=0}^{n-1}c_i A^i a \neq 0$，与 $f(A) = 0$ 矛盾。因此，假设不成立，${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关。其次，我们证明 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 是线性空间 $V$ 的基。由于 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 线性无关，只需证明它们是 $V$ 的一组生成元即可。对于任意向量 $v \in V$，我们可以考虑它在基 ${a, Aa, \ldots, A^{n-1}a}$ 下的坐标表示。设 $v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i a$，则 $A^k v = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^{i+k} a$。因此，$$\begin{aligned}A^n v &= A^{n-1} (A v) = A^{n-1} (\s
亲
~.拓展资料：$这个符号亲亲请不要计算进去亲亲~
~.拓展资料：$这个符号亲亲请不要计算进去亲亲~
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