Question

(选纠)12已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)-1为奇函数,f(3/2x+2) 为偶函数,f

Answer 1

问：(选纠)12已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)-1为奇函数,f(3/2x+2) 为偶函数,f

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦(0) = 0, 求f(x)的表达式。解：因为f(2x+1)是奇函数，所以有f(-2x-1) = -f(2x+1)。同时，f(3/2x+2)是偶函数，所以有f(2-3/2x) = f(3/2x+2)。考虑将f(x)表示成2x+1和3/2x+2的组合形式。设y = 2x+1，则x = (y-1)/2，代入f(-2x-1) = -f(2x+1)中得：f(y+3) = -f(y-1)设y = 3/2x+2，则x = 2/3(y-2)，代入f(2-3/2x) = f(3/2x+2)中得：f(y-1) = f(4/3(5-y))由以上两个式子可以得到：f(y+3) = -f(4/3(5-y))将y=0代入得：f(3) = -f(20/3)将y=3代入得：f(6) = -f(1)将y=6代入得：f(9) = -f(8/3)将y=9代入得：f(12) = -f(4)由f(0)=0可得f(3) = -f(2); f(6)=-f(5); f(9)= -f(8)。继续代入得到：f(12) = f(7) = -f(6) = f(5) = -f(4) = -f(1) = f(0) = 0因此f(x)的图像具有以6为周期的对称性，可以写成以6为周期的分段函数形式：$f(x)=\begin{cases} 0&\quad 6k\le x< 6k+4\\ a&\quad 6k+4\le x< 6k+5\\-b&\quad 6k+5\le x< 6k+6\end{cases}$其中k为整数，a,b为常数。由f(9) = -f(8)可以得到a=-b，由f(12)=0可以得到a=b。因此$f(x)=\begin{cases} 0&\quad 6k\le x< 6k+4\\ a&\quad 6k+4\le x< 6k+6\end{cases}$其中k为整数，a为常数。由f(3) = -f(2) = 0可以得到a=0，因此$f(x)=\begin{cases} 0&\quad 6k\le x< 6k+4\\ 0&\quad 6k+4\le x< 6k+6\end{cases}$其中k为整数。因此，f(x)的表达式为f(x) = 0。