Question

求解线性代数 关于特征值的一道题 设三阶矩阵A的特征值为2，4，4，则行列式|E-A^-1|=？

设三阶矩阵A的特征值为2，4，4，则行列式|E-A^-1|=？

求过程，谢谢

Answer 1

主要利用以下结论:
1. 设x是A的特征值, 则1/x是A的逆的特征值;
2. 如果x是A的特征值, 对于多项式f(t)而言, f(x)是f(A)的特征值;
3. 如果x1,...,xn是A的n个特征值, 则|A|=x1*...*xn.

因为A的特征值为2,4,4, 所以A^{-1}的特征值为1/2,1/4,1/4.
从而E-A^{-1}的特征值为1-1/2,1-1/4,1-1/4,即是1/2,3/4,3/4.
进而|E-A^{-1}|=1/2*3/4*3/4=9/32.

Answer 2

设λ为A的特征值，ξ为对应的特征向量。
(E-A^(-1))ξ=ξ-A^(-1)ξ=(1-1/λ)ξ
故E-A^(-1)的特征值为：1/2 、3/4、3/4
因此|E-A^(-1)|=(1/2)(3/4)(3/4)=9/32

追问

采纳最快回答了 还是谢谢

Answer 3

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