Question

函数f(x)=4x²－4ax+a²－2a+2在区间【0，2】上有最小值3，求a的值

Answer 1

答：
f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2
=4(x-a/2)^2-2a+2
抛物线f(x)开口向上，对称轴x=a/2
1）当对称轴x=a/2<=0即a<=0时：
f(x)在0<=x<=2是单调递增函数
x=0时取得最小值f(0)=a^2-2a+2=3
a^2-2a-1=0
a=1-√2（a=1+√2不符合a<0舍去）
2）当对称轴0<=x=a/2<=2即0<=a<=4时
x=a/2时取得最小值f(a/2)=-2a+2=3
a=-1/2
不符合题意舍去
3）对对称轴x=a/2>=2即a>=4时
f(x)在0<=x<=2是单调递减函数
x=2时取得最小值f(2)=16-8a+a^2-2a+2=a^2-10a+18=3
a^2-10a+15=0
a=5+√10（a=5-√10不符合a>=4舍去）
综上所述，a=1-√2或者a=5+√10