Question

已知abc是不全相等的正数,求证：2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）

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Answer 1

此题考查平均值不等式：(x1³+x2³+x3³)/3≥(x1x2x3)^(1/3)

证明：
2(a³+b³+c³)
=2a³+2b³+2c³
=(a³+a³+b³)/3+(a³+a³+c³)/3+(b³+b³+a³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3+(c³+c³+b³)/3
≥(a³*a³*b³)^(1/3)+(a³*a³*c³)^(1/3)+(b³*b³*a³)^(1/3)+(b³*b³*c³)^(1/3)+(c³*c³*a³)^(1/3)+(c³*c³*b³)^(1/3)
=a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
=a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)

取等条件为a=b=c
根据题意,a,b,c不全相等，故等号无法取到，因此：
2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）

证毕。

追问

2a³+2b³+2c³到(a³+a³+b³)/3+(a³+a³+c³)/3+(b³+b³+a³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3+(c³+c³+b³)/3咋来的

追答

2a³+2b³+2c³
将其中的2a³,2b³,2c³分别拆成6个a³/3，然后再重新分配位置得到的。

你可以在(a³+a³+b³)/3+(a³+a³+c³)/3+(b³+b³+a³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3+(c³+c³+b³)/3中合并同类项查看一下，它与2a³+2b³+2c³是一样的。

之所以这样拆分，是为了能凑出a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b