Question

数学解答器

三个素数的乘积恰好等于他们的和的11倍，求这个三位素数.

Answer 1

设三个素数为a,b,c
则 a*b*c=11*(a+b+c)
因为a,b,c三个都是素数，它们的乘积是11的倍数，所以a,b,c其中必有一个是11
设c=11
则 a*b*11=11*(a+b+11)
a*b=a+b+11
ab-a-b+1=12
a(b-1)-(b-1)=12
(a-1)(b-1)=12
则 a-1=1 或 2 或3 或4 或6 或12
即： a=2 或 3 或4（不合题 意，舍去） 或5 或7 或13
1）当a=2， 则b-1=12 b=13 三个素数为 2， 13，11
2）当a=3， 则b-1=6 b=7 三个素数为 3，7，11
3）当a=5， 则b-1=3 b=4 （不合题 意，舍去）
4）当a=7， 则b-1=2 b =3 三个素数为 7， 3，11
5）当a=13， 则b-1=1 b=2 三个素数为 13， 2，11

综上所述 三个素数为： 2， 11， 13， 或 3，7，11

Answer 2

pqr=11(p+q+r) ，
它们的积能被 11 整除，因此它们之中一定有一个等于 11 。
11*pq=11*(p+q+11) ，
所以 pq=p+q+11 ，
移项分解得 (p-1)(q-1)=12 ，
由于 12 可分解为 1*12=2*6=3*4 ，
因此 p=2，q=13 或 p=3，q=7 或 p=4 ，q=5(舍去) ，
所以这三个素数分别是 2、11、13 或 3、7、11 。

Answer 3

它们和的11倍，必然含有因数11，那么反过来推得三个质数中必有11。
根据题意有：
11*A * B = (11 + A + B)*11
即
A * B = 11 + A + B

①
当A、B中含有质数2时，不妨令B = 2
2A = 11 + A + 2，解得A = 13，符合题意。

②
当当A、B中不含有质数2，即AB都是奇数时，不妨令：
A = 2M + 1，B = 2N + 1，有：
(2M + 1)(2N + 1) = 11 + 2M + 1 + 2N + 1
即
4MN = 12，
MN = 3
显然只能是M = 3、N = 1
此时A = 2*3 + 1 = 7，B = 1*2 + 1 = 3，符合题意。

综上，这三个质数可以是：
2、11、13
或
3、7、11

Answer 4

这三个素数是3、7、11.
它们的积：3×7×11=21×11=231，
它们的和 3+7+11=21，
它们的乘积正好是它们和的11倍。
231÷21=11

Answer 5

解：由题意得，其中一个素数是11，设第一个是3，则第二个是3+x,
方程为：3（3+x)=3+3+x+11,j解方程得x=4,则第二个数是3+4=7,这三素数分别是3,7,11.