Question

二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根，将f（x）的图像向右平移

3/2个单位，得到g（x）的图像
（1）求f(x(的解析式
（2）求g（x）的解析式
（3）试问：是否存在实数m，n，使函数g（x）在区间【n，n+2】上是单调函数，且其值域为【m，m+2】？若存在，求m，n的值；若不存在请说明理由

Answer 1

1. 设f(x)=ax^2+bx+c，a≠0，依题意f(0)=0+0+c=2所以c=2。又f(x)关于x=0对称则-b/2a=0则b=0此时f(x)=ax^2+2。将f(x)=2x和f(x)=ax^2+2联立有根满足方程ax^2-2x+2=0，只有一个根则Δ=b^2 -4ac=4-8a=0所以a=1/2 所以f(x)=1/2x^2+2

2. g(x)=1/2(x-3/2)^2+2=1/2x^2-3/2x+25/8

3. 若存在这样的实数mn且f(x)在[n，n+2]单调，则由[n，n+2]表示的定义域和[m，m+2]表示的值域在函数图像上表现为两个点。若将过两个点的直线关于对称轴x=3/2做对称，则形成的新的直线也符合条件，只不过单调性相反。固假设存在这样的实数mn，使得g(x)在区间[n，n+2]上单调增加，则两个交点分别为(n，m)和(n+2，m+2)且n，m＞3/2。则过这两点的直线斜率为2/2=1，所以可以设过这两点的直线方程为y=x+k。带入g(x)内有等式x^2-5x+(25/4-2k)=0，有两个解则Δ=b^2-4ac＞0则25-4*(25/4-2k)=8k＞0。由于我们假设是单增部分所以x1=n≥3/2，x2=n+2≥7/2，根据韦达定理x1+x2=-b/a=5，而x1+x2=n+(n+2)≥3/2+7/2=5，所以n只能等于3/2。n+2=7/2，x1x2=25/4-2k=21/4，所以k=1/2，直线方程为y=x+1/2。将n=3/2带入直线方程有m=2。将点(3/2，2)和(7/2,4)带回到g(x)中发现这两个点在g(x)上。将(3/2，2)和(7/2,4)关于对称轴x=3/2做对称可以得到另一组答案(3/2，2)和(-1/2,4)。所以存在这样的数n=3/2，m=2满足g(x)在区间[3/2，7/2]内单调递增且值域在[2，4]之内或n=-1/2，m=2满足g(x)在区间[-1/2，3/2]内单调递减且值域在[2，4]之内。