Question

如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF垂直于AD.

若AB=8，求CD的长

Answer 1

⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，则CD=2CE；在直角△OED中，易证∠ODC=30°，就可以求出DE的长，进而求出CD的长．

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解：在△AOF和△COE中，

∠AFO=∠CEO=90°，
∠AOF=∠COE（对顶角角相等），所以∠A=∠C，
连接OD，则∠A=∠ODA，∠C=∠ODC，
所以∠A=∠ODA=∠ODC，

因为∠A+∠ODA+∠ODC=90°，
所以∠ODC=30°，
因为AB=8

所以OD=1/2×AB=4

所以OE=1/2×OD=2

根据勾股定理得DE=2√3

CD=2DE=4√3．（垂径定理）    

故答案为：4√3.

【此题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，求出∠ODC=30°是解决本题的关键．】

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