Question

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C． （1）求证：DC=BD+AB； （2）当点E是BC的中点时，求证：AB=2DE。

辅助线最好画出来

Answer 1

(1)、连接AE，使DE=BD。

△ABD≌△AED(边、角、边)，∴AB=AE ,∠B=2∠C=∠AED。

而 ∠AED=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C。

在△AEC中，∠EAC=∠C，∴AE=EC.（在三角形中，两底角相等，两腰相等）

∴AB+BD=AE+DE=EC+DE=DC。

(2)、由于点E是BC的中点，那么BE=EC。过E点作EF垂直AC。

在△AEF和△CEF中，∠EAF=∠C，∠AFE=∠CFE=90°，EF=EF，AE=EC，

∴△AEF≌△CEF，∴AF=FC。

在△ABC和△CEF中，AC=2FC，BC=2EC，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，

∴△ABC∽△CEF，那么 ∠B=∠FEC，∠BAC=∠CFE=90°，AB=2EF。

在△ADE和△CEF中，∠AED=∠B=∠FEC，∠ADE=∠CFE=90°，AE=EC，

∴△ADE≌△CEF，∴DE =EF。

 

由于：DE =EF，AB=2EF，∴AB=2DE。