Question

如图,已知△ABC是边长为6的等边三角形,点O在边AB上,圆O过点B且分别与AB,BC相交于点D,E,过点E

如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点O在边AB上，圆O过点B且分别与AB、BC相交于点D、E，过点E的切线与AC相交于点F
（1）求证：EF⊥AC；
（2）当圆O的半径为2时，求EF的长。

Answer 1

⑴∵EF为切线，∴OE⊥EF，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=60°，
∵OB=OE，∴ΔOBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°=∠A，∴AC∥OE，
∴EF⊥AC。
⑵BE=OA=2，∴CE=BC-BE=4，
在RTΔCEF中，∠C=60°，
∴∠CEF=30°，CF=1/2CE=2，
∴EF=√(CE^2-CF^2)=2√3。

Answer 2

⑴∵EF为切线，∴OE⊥EF，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=60°，
∵OB=OE，∴ΔOBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°=∠A，∴AC∥OE，
∴EF⊥AC。
⑵BE=OA=2，∴CE=BC-BE=4，
在RTΔCEF中，∠C=60°，
∴∠CEF=30°，CF=1/2CE=2，
∴EF=√(CE^2-CF^2)=2√3。