Question

设二次函数f(x)=ax²+bx+c,集合A={x|f(x)=x}={1,2},且f(0)=2

(1)求函数f(x)的解析式；（2）求当x∈[0,m](m＞0）时f(x)的值域
过程尽量清晰详细一点啊，多谢各位了

Answer 1

(1)
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c，集合A={x|f(x)=x}={1,2},且f(0)=2
f(0)=c,所以c=2
可知ax²+bx+2=x>>>ax²+(b-1)x+2=0的两个根x1=1,x2=2
由韦达定理（根与系数的关系）得：
x1x2=2/a=1×2=2解得a=1
x1+x2=(1-b)/a=1+2=3解得b=-2
所以f(x)=x²-2x+2;
(2)
可知，该函数开口向上，对称轴为直线x=1
结合图形，当x∈[0,m](m＞0）
①若m<=1，则f(x)=x²-2x+2在[0,m]上为减函数
f(x)max=f(0)=2
f(x)min=f(m)=m²-2m+2
所以f(x)的值域为[m²-2m+2,2];
②若m>1，则f(x)=x²-2x+2在[0,1]上为减函数，在[1,m]上为增函数
可知f(0)=2,f(m)=m²-2m+2
若f(m)>=f(0),即m²-2m+2>2解得 m>=2时
则
f(x)max=f(m)=m²-2m+2
f(x)min=f(1)=1;
若f(m)=<f(0),即m²-2m+2<2解得 0<m=<2时
则
f(x)max=f(0)=2
f(x)min=f(1)=1.

希望能够帮助你，有疑问欢迎追问，助学习进步！

追问

为什么ax²+（b-1)x+2=0???

追答

集合A={x|f(x)=x}={1,2}，集合A的元素是x，那么它表示的就是方程f(x)=x的解
f（x）＝ax²+bx+c，已经通过f(0)=c=2求出c，所以f（x）＝ax²+bx+2　

那么方程f（x）＝x就是ax²+bx+2＝x化成标准形式就是ax²+（b－1）x+2＝0

有疑问欢迎继续追问，助学习进步！

Answer 2

（1）由f（0）=2，可以知道c=2；
由集合A的定义可以知道f（1）=1，f（2）=2，因此就有：a+b+2=1,4a+2b+2=2,根据这两个方程可以求出来a=1，b=-2；
所以f（x）=x²-2x+2
(2)f（x）=x²-2x+2=(x-1)²+1,这是个抛物线的方程，对称轴是X=1，可以画个图来看会很清楚的。所以这个函数在0<x<1时，f（x）单调递减；x>1时，f（x）单调递增。因此，当0<m<=1时，函数的最大值是f（0）=2，最小值是f（m）=m²-2m+2；
当1<m<=2时，函数的最小值是抛物线的最低点f（1）=1，最大值是f（0）=2；
而当m>2时，函数的最小值还是抛物线最低点f（1）=1，最大值为f（m）=m²-2m+2。

Answer 3