Question

已知函数f（x）=1-2/（3^x+1）

（1）求函数fx的定义域，判断并证明fx的奇偶性
（2）用单调性定义证明：函数fx在其定义域上都是增函数
（3）解不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0

Answer 1

(1). 3^x>0, 所以定义域为R
f(x)=1-2/(3^x+1)=(3^x+1-2)/(3^x+1)=(3^x-1)/(3^x+1)
f(-x)=[3^(-x)-1]/[3^(-x)+1]=(1/3^x-1)/(1/3^x+1)=(1-3^x)/(1+3^x)=-(3^x-1)/(3^x+1)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
(2) 设 定义域R上二值a>b
f(a)-f(b)=[1-2/(3^a+1)]-[1-2/(3^b+1)]=2(3^a-3^b)/(3^a+1)(3^b+1)
a>b, 3^a>3^b, 3^a>0,3^b>0
所以f(a)-f(b)>0, f(a)>f(b)
所以f(x)在R上是增函数
(3). f(3m+1)+f(3m-3)<0
f(3m+1)<-f(2m-3)
f(3m+1)<f[-(2m-3)] (奇函数)
f(3m+1)<f(3-2m)
3m+1<3-2m (增函数)
5m<2
m<2/5

Answer 2

1、令3^x+1=0；得x无解。故定义域为R。
f(x)=(3^x-1)/(3^x+1)
f(-x)=(3^-x-1)/(3^-x+1)=(1-3^x)/(3^x+1)=-f(x)
故为奇函数
2、设x1>x2
f(x1)-f(x2)=2/（3^x2+1）-2/（3^x1+1）=（2*3^x1-2*3^x2）/（3^x1+1）（3^x2+1）
因为3^x为增函数，故（2*3^x1-2*3^x2）>0
所以f(x1)-f(x2)>0
故为增函数
3、f（3m+1）+f（2m-3）＜0------f（3m+1）<-f（2m-3）------
f（3m+1）<f（3-2m）
因为函数为增函数，
故只需要3-2m>3m+1
故m<0.4

Answer 3

定义域R.将f（x）=1-2/（3^x+1）=（3^x-1）/（3^x+1），用奇偶性定义很容易这么函数是奇函数。（2）用f（x）=1-2/（3^x+1）形式容易证明。（3）将解不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0化为
f（3m+1）＜-f（2m-3）即f（3m+1）＜f（-2m+3），结合单调性得3m+1）＜-2m+3从而求解

Answer 4

1、定义域R
2、设-<x1<x2<+ 前后是无穷，没打出

因为 f(x2)-f(x1)>0，自己代入就知道了，所以原函数f(x)单调递增
3、 f（3m+1）+f（2m-3）=带入求得m<3/2