Question

如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN

Answer 1

证明：从D作DP∥AC，交BC延长线于P
ABCD为梯形，所以AD∥CP
又有DP∥AC，所以四边形ACPD为平行四边形，DP=AC，AD=CP
ABCD为等腰梯形，则BD=AC=DP
BD⊥AC，DP∥AC，所以BD⊥DP，△BDP为等腰直角三角形
DF为△BDP斜边上的高，因此也是斜边上中线，所以DF=BP/2
MN为梯形中位线，所以MN=（AD+BC）/2
BP=CP+BC=AD+BC，所以DF=MN

追问

能不能简洁些，就∵……
∴……
又∵……
∴……

一定要注明的可以写点汉字，谢谢了，麻烦了！

追答

∵ABCD为等腰梯形，
∴AD∥CP，AC=BD
又∵DP∥AC
∴四边形ACPD为平行四边形
∴DP=AC=BD，AD=CP
∵BD⊥AC，DP∥AC
∴BD⊥DP，△BDP是等腰直角三角形
∵DF为BP上的高，也是BP上的中线
∴DF=BP/2
∵AD=CP，BP=BC+CP
∴BP=AD+BC
∵MN为梯形中位线，MN=（AD+BC）/2
∴MN=BP/2
因此DF=MN