Question

如图，的点P是三角形ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=½∠A,BP,CP的延长线分别

如图，的点P是三角形ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=½∠A,BP,CP的延长线分别交AC,AB于点D,E,求证BE=CD

Answer 1

在CE上或CE的延长线上取一点F，使得：CF = BD 。

已知，PG是BC垂直平分线，可得：PB = PC ，则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A 。

在△CBF和△BCD中，CF = BD ，∠BCF = ∠CBD ，BC为公共边，
所以，△CBF ≌ △BCD ，可得：BF = CD ，∠CBF = ∠BCD ，∠CFB = ∠BDC 。

① 若点F在CE上，则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上，则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合，
可得：BE = BF = CD ；

综上可得：BE = CD 。