Question

已知抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1与x轴交于A、B两点，
∴

m−1≠0△＝(m−2)2+4(m−1)＞0.

由①得m≠1，
由②得m≠0，
∴m的取值范围是m≠0且m≠1．  
（2）∵点A、B是抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1与x轴的交点，
∴令y=0，即 （m-1）x²+（m-2）x-1=0．
解得 x₁=-1，x2＝

1m−1

．
∵m＞1，
∴

1m−1

＞0＞−1．
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为(

1m−1

，0)．
∴OA=1，OB=

1m−1

．
∵OA：OB=1：3，
∴

1m−1

＝3．
∴m＝

43

．
∴抛物线的解析式为y＝

13

x2−

23

x−1．  
（3）∵点C是抛物线y＝

13

x2−

23

x−1与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，-1）．
依题意翻折后的图象如图所示．
令y=7，即

13

x2−

23

x−1＝7．
解得x₁=6，x₂=-4．
∴新图象经过点D（6，7）．
当直线y＝

13

x+b经过D点时，可得b=5．
当直线y＝

13

x+b经过C点时，可得b=-1．
当直线y＝

13

x+b(b＜−1)与函数y＝

13

x2−

23

x−1(x＞0)
的图象仅有一个公共点P（x₀，y₀）时，得

13

x0+b＝

13x20

−

23

x0−1．
整理得

x20

−3x0−3b−3＝0．
由△=（-3）²-4（-3b-3）=12b+21=0，得b＝−

74

．
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为-1＜b≤5或b＜−

74

．